Τμήμα Φυσικής - Πανεπιστήμιο Κρήτης

Φ-212. Διαφορικές Εξισώσεις ΙΙ



Παροτρύνσεις

Θα ήθελα να σας καλωσορίσω στο μάθημα των μερικών διαφορικών εξισώσεων και να σας ευχηθώ να έχετε μια επιτυχημένη διαδρομή.

Α. Η εμπειρία μου των τελευταίων 20 χρόνων (που διδάσκω στο πανεπιστήμιο Κρήτης) δείχνει ότι αν δεν παρακολουθήσετε ανελλιπώς το μάθημα και τις ασκήσεις, δεν πρόκειται να το περάσατε και μάλιστα με κάποιο καλό βαθμό.

Β. Σε συνέχεια του προηγουμένου, όχι μόνο χρειάζεται ανελλιπής παρακολούθηση, αλλά οι φοιτητές πρέπει να λύνουν τις ασκήσεις που προτείνω για λύση. Ο σκοπός των ασκήσεων είναι να καταλάβετε, όσο είναι ακόμα καιρός, αν καταλαβαίνετε αυτά που παραδίνει ο δάσκαλος ώστε να μπορέσετε να διορθώσετε άμεσα. Η εμπειρία μέχρι τώρα δείχνει ότι ελάχιστοι λύνουν ασκήσεις στο σπίτι κατά την διάρκεια του μαθήματος. Αν δεν καταλάβετε ότι αυτό είναι σημαντικό στο να κατανοήσετε το περιεχόμενο του μαθήματος, και επομένως να περάσετε τις εξετάσεις, φοβάμαι ότι θα έχετε σημαντική ταλαιπωρία στο μέλλον.

Γ. Δεν είναι δυνατόν να καταλάβετε το μάθημα χωρίς να ρωτάτε άμεσα τις απορίες σας. Μια τάξη που δεν κάνει ερωτήσεις, είναι σχεδόν σίγουρα μια αποτυχημένη τάξη. Το βιβλίο που θα πάρετε, είναι εξαιρετικά αναλυτικό. Αν δεν κάνετε ερωτήσεις θα έλεγε κανείς ότι δεν υπάρχει λόγος να έρχεστε στο μάθημα. Μπορείτε να διαβάσετε το βιβλίο. Όμως η εμπειρία που αναφέρω στο Α, δείχνει ότι αυτό είναι ανέφικτο για την πλειοψηφία. Άρα πρέπει να έρχεστε στο μάθημα και να ρωτάτε αυτά που δεν καταλάβατε.

Για να μπορεί αυτή η διαδικασία να είναι αποτελεσματική και στον σωστό χρόνο, είναι σημαντικό να διαβάζεται μόνοι σας από πρίν το μάθημα που θα παραδώσει ο καθηγητής. Μόνο έτσι θα ξέρετε έγκαιρα τι δεν μπορείται να καταλάβετε.

Δ. Τα μαθηματικά και η φυσική δεν είναι επιστήμες ``Θεωρίας ". Αν διαβάσετε το βιβλίο ή την λύση μιάς άσκησης και νομίζετε ότι την καταλάβατε και άρα την κατέχετε, τις περισσότερες φορές δεν εκτιμάτε καλά. Αν δεν λύσετε ασκήσεις μόνοι σας χωρίς να τις κοιτάτε από πουθενά, δεν είστε σίγουροι αν έχετε καταλάβει. Ο μόνος τρόπος που ο διδάσκων έχει για να πειστεί ότι κατέχετε το μάθημα είναι να λύσετε ασκήσεις που είναι παρόμοιες με αυτές που λύσατε στο μάθημα αλλά όχι ακριβώς οι ίδιες.

Ε. Τα Α και Β συνεπάγονται ότι αν δεν περάσετε το μάθημα στην πρώτη εξεταστική οι πιθανότητες να περάσετε το μάθημα σε μετέπειτα εξετάσεις είναι μηδαμινές. Ενώ τα θέματα σε όλες τις εξεταστικές περιόδους είναι συκρίσιμης ευκολίας οι στατιστικές είναι ``ατράνταχτες": ελάχιστοι περνάνε το μάθημα καθυστερημένα.

Η. Τα θέματα των εξετάσεων είναι τέτοια ώστε να χρειάζεται να ξέρετε όλη την διδακτέα ύλη για να περάσετε το μάθημα. Οι πιθανότητες να περάσετε το μάθημα από ``τύχη" διαβάζοντας ένα μόνο κομμάτι της ύλης είναι πολύ μικρές.






Η διεύθυνση της ιστοσελίδας του μαθήματος είναι http://ph212.edu.physics.uoc.gr/ Θα πρέπει να την συμβουλεύεστε τακτικά για τυχόν ανακοινώσεις και αλλαγές.

Η ύλη του μαθήματος δίνεται παρακάτω.

Το μάθημα περιέχει σε ποσοστό πάνω από 80% την λύση ασκήσεων στον πίνακα. Η "θεωρία¨είναι ελάχιστη. Όλο το μάθημα ουσιαστικά δείχνει πώς λύνουμε ασκήσεις εφαρμόζοντας την θεωρία.

Η παρακολούθηση δεν είναι υποχρεωτική. Η εμπειρία όμως έχει δείξει ότι η πλειοψηφία των φοιτητών που δεν παρακολουθούν το μάθημα, και δεν λύνουν τις ασκήσεις που δίνονται κάθε εβδομάδα έχουν εξαιρετικά μεγάλη δυσκολία να περάσουν το μάθημα.

Περιεχόμενο του μαθήματος

  • Μερικές διαφορικές εξισώσεις χωριζόµενων µεταβλητών. Μερικές διαφορικές εξισώσεις χωριζόµενων µεταβλητών. Οι εξισώσεις κύµατος, Laplace και θερµότητας. Αρχικές και συνοριακές συνθήκες που οδηγούν σε µοναδική λύση. Το παράδειγµα της ταλαντευόµενης χορδής. (2 εβδομάδες)

  • Θεωρία Sturm-Liouville, σειρές Fourier. Προβλήµατα συνοριακών τιµών για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: θεωρία Sturm-Liouville. Τα βασικά θεωρήµατα του προβλήµατος ιδιοτιµών. Θεµελίωση µέσω τελεστών. Ιδιόµορφα προβλήµατα ιδιοτιµών. Αναπτύγµατα σε πλήρη συστήµατα ιδιοσυναρτήσεων. Σειρές Fourier. (2 εβδομάδες)

  • Οι εξισώσεις κύµατος, Laplace και θερµότητας σε πεπερασµένα χωρία. Η µονοδιάστατη εξίσωση θερµότητας (ψύξη µεταλλικής πλάκας σε λουτρό µηδενικής θερµοκρασίας, αποκατάσταση θερµικής ισορροπίας σε αµφίπλευρα µονωµένο τοίχο). Η διδιάστατη εξίσωση Laplace σε Καρτεσιανές, πολικές συντεταγµένες και η τρισδιάστατη εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγµένες (το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό τετραγώνου, κυλινδρικού πυκνωτή, σφαιρικού πυκνωτή). Η διδιάστατη κυµατική εξίσωση σε Καρτεσιανές, πολικές συντεταγµένες (ταλαντώσεις τετραγωνικού, κυκλικού τυµπάνου). Προβλήµατα µε µη οµογενείς συνοριακές συνθήκες. (3 εβδομάδες)

  • Οι εξισώσεις κύµατος, Laplace και θερµότητας σε άπειρα χωρία. Επέκταση της βασικής θεωρίας σε προβλήµατα ιδιοτιµών µε συνεχές φάσµα. Ο µετασχηµατισµός Fourier. Η εξίσωση θερµότητας σε άπειρο ή ηµιάπειρο διάστηµα. Η συνάρτηση εξέλιξης του θερµοκρασιακού πεδίου. Η κυµατική εξίσωση στο άπειρο επίπεδο. (3 εβδομάδες)

  • Μη οµογενείς διαφορικές εξισώσεις: Συνάρτηση Green. Προβλήµατα συνοριακών τιµών για µη οµογενείς διαφορικές εξισώσεις. Ορισµός και κατασκευή της συνάρτησης Green για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Η µέθοδος της συνάρτησης Green για µερικές διαφορικές εξισώσεις. Συναρτήσεις Green σε πεπερασµένα χωρία. (2 εβδομάδες)

  • Ειδικές συναρτήσεις της Μαθηµατικής Φυσικής. Η έννοια της γεννήτριας συνάρτησης και των αναδροµικών σχέσεων. Συναρτήσεις Bessel, πολυώνυµα Legendre και υπολογιστικές τεχνικές.

    (1 εβδομάδα)





The webpage of the course is http://ph212.edu.physics.uoc.gr/ You must consult it regularly for announcements, changes, homwork and solutions.

The course content is given further below.

More than 80% of course considts in solving equations on the black board. There is very little "Theory". The whole course is how to solve partial differential equations and interpret the solutions.

Attendance is not compulsory. Previous experience has shown that for the majority of the students, if they do not attend lectures and do solve the homework problems in due time, they cannot pass the course.



Course Content





  • 1. Partial differential equations of separable form. Partial differential equations of separable form. The wave equation, Laplace’s equation, the heat equation. Initial and boundary conditions leading to unique solution. The example of vibrating string. (2 weeks)

  • 2. Sturm-Liouville theory, Fourier series. Boundary value problems for ordinary differential equations: Sturm-Liouville theory. The basic theorems of the eigenvalue problem. Consideration through operators. Singular eigenvalue problems. Eigenfunction expansions. Fourier series. (2 weeks)

  • 3. The wave equation, Laplace’s equation, the heat equation on bounded regions. One-dimensional heat equation (cooling of a metal plate in a bath of zero temperature, thermal equilibrium of a thermally insulated wall). The two-dimensional Laplace’s equation in Cartesian, polar coordinates and the three-dimensional Laplace’s equation in spherical coordinates (electric field inside a square, cylindrical capacitor, spherical capacitor). The two-dimensional wave equation in Cartesian, polar coordinates (vibration of a rectangular, circular membrane). Problems with non-homogeneous boundary conditions. (3 weeks)

  • 4. The wave equation, Laplace’s equation, the heat equation on unbounded regions. Extension of the basic theory to eigenvalue problems with continuous spectrum. Fourier transformation. The heat equation on the infinite or semi-infinite interval. The evolution function of the temperature field. The wave equation on the infinite plane. (3 weeks )

  • 5. Inhomogeneous differential equations: Green’s functions. Boundary value problems for inhomogeneous differential equations. Definition and construction of the Green’s function for ordinary differential equations. The method of Green’s function for partial differential equations. Green’s functions for bounded regions. (2 weeks)

  • 6. Special functions of Mathematical Physics. The notion of generating function and recursion relations. Legendre polynomials and Bessel functions: basic properties and computational techniques. (1 week)





Two-hour lectures given





  • February: 3,5,6,7,10,12,13,14,17,19,20,21,24,26

  • March: 4,5,6,12,13